第３章 正弦電磁波
今までのところでは，電磁界の時間に関わる変化として一般的な扱いをしてきました．こういう扱いを常にすることは至って煩瑣です．そこで，以後特に必要でない場合を除いて全ての時間に関わる変化を時間因子exp(jωt)で表わすことにします．この表現は，全ての時間的変化が，単一の角周波数ωの正弦的変化であるということを仮定していることになります．
しかし，世の中に単一の周波数の信号などというものはありません．それでは情報は全く送れないからです．それでも，これで一般性が損われることはありません．それは，仮に時間的変化がもっと複雑なものであってもそれらを周波数領域で見た場合にはωを媒介変数とするωに関する集合と看做すことができますから，単一の角周波数ωをもって解析した結果を最初のωの集合（これをしばしばスペクトラムと言います．）の規則によって積分してやればよいからです．
電磁界が時間に関して一般的な形ｆ(t)で表わされるとします．この関数が，ｔ＝ｃからｔ＝ｃ＋２ｌの間の時間２ｌを周期として反復される周期関数であるとします．すなわち，
です．このような場合には，
のようにFourier級数展開ができます．ただし，ここに，
です．
また，ｌが無限に長いときには，Fourier変換によって次のように表わされます．
ただし，
式(2)，(4)に示されるように，単一角周波数ωとして問題を解き，その後に式(2)，(4)に依拠して時間に関する全体的な関数関係を求めれば，たとえ時間的に複雑な系についても解を求めることができます．このような理由で，ここでは時間因子としてexp(jωt)を用いることにします．
時間因子をexp(jωt)と定めたときのMaxwellの方程式は，
となります．また，真空中ですから，ガウスの法則は，
です．
これらを直角座標における座標軸成分に分けてみましょう．
および，
となります．
図 1 平面波の伝播方向
ここで，いま過度の一般性を避けるために，波動が伝播する時の伝播軸を含む平面をｘ，ｙ平面としてみましょう．そうしますと，すべての現象はz軸とは無縁になりますので，
とすることができます．これを上式に適用しますと，
これらの各式を詳細に眺めてみますと，（Ｅx，Ｅy，Ｈz）と（Ｈx，Ｈy，Ｅz）の二つの組合せからなることが分ります．そこでこれらの組合せのそれぞれに名前を，
（Ｅx，Ｅy，Ｈz）；Ｈ波またはＴＥ（Transverse
Electric Wave）波， （Ｈx，Ｈy，Ｅz）；Ｅ波またはＴＭ（Transverse
Magnetic Wave）波・・・のように名付けることにします．このように波動が，独立な組に分離されることをモード分離(mode separation)と言います．
後の議論はどちらの波動でも同じことですから，ここではＴＥ波をモデルに選んで解析を進めて行くことにします．
これらから，Ｅx，Ｅyを消去しますと，
のような方程式を得ることができます．これを波動方程式(wave equation)と言います．
式(6)を解くには変数分離法が有効です．そこで，式(6)の解を次のように仮定します．
Ｈz(x,y)＝Ｘ(x)Ｙ(y) (7)
これを式(6)に代入しますと，
となります．この両辺をＸＹで割りますと，
となります．第１項目はｘの，第２項目はｙの関数であり，第３項目は定数です．例えば第１項目がｘに関して変化するのであれば第２項目や第３項目も変化しなければなりませんが，ｘの変化に対してｙのみの関数や定数が変化するということはありませんので，結局第１項目も第２項目も定数でなければなりません．すなわち，ξやηを定数として，
とならなければなりません．よって，
を解として得ます．ゆえに式(6)の一般解は，
となります．
また，ξやηについては次の関係が成立します．
式(9)のように得られた解はどういうことを意味しているのでしょうか．その一つ
exp（+jξx）を例に取って調べてみましょう．
この項にはｅjωtが付随しています．そこでｅj(ωt+ξx)の形でみてみましょう．指数関数の肩は，位相を表わしていますが，その時空間における変化は，
ωｔ＋ξｘ＝const.
という方程式から得られます．すなわち時空間座標中の一点constという場所の運動方程式ですが，それはこれを微分することによって，
ωｄｔ＋ξｄｘ＝０
となり，したがって，
すなわち，ｅj(ωt+ξx)なる関数は，時間の経過と共にｘ軸の負方向に向かって速度ω／ξで進行する波動を表わしていることになります．同様にｅj(ωt-ξx)は同じ速度でｘ軸の正方向に進行する波を表わしていますし，ｅj(ωt+ηy)やｅj(ωt-ηt)等はそれぞれ速さω／ηでｙ軸方向の負又は正の方向に進行する波を表わしています．
そこで，前図のように伝播する波があれば，これは次のように表わされることになります．
ただし，ここで，
ξ＝ｋ0sinθ， η＝ｋ0cosθ
は式(10)を満足するように与えてあります．
こうして得られた磁界成分から他の電磁界成分を求めておきましょう．そのために式(11)を式(5)に代入しますと，
を得ます．そして，電界，磁界の様子を描いたものが下図のようになるものと想像されます．
・
・・0
・
ここまでは，直角座標を用いて正弦波動を表現してきました．直角座標は，私たちには大層馴染みですが，しかしこれは特別なものではなくて11個のの中の一つに過ぎません．真空中の波動関数であっても，それを記述する座標系が違えばまるで違う数学的表現をしなければなりません．
平面波の形からして，これを表現するには直角座標が最も相応しいものです．しかし，考えている領域に丸いものや楕円形のもの，あるいは双曲面などを有するものがあるときには，それらに適合した座標系を使う方が理に叶っているということがしばしばあります．図のような円柱座標で表現されたMaxwellの方程式はつぎのようになります．
ρ成分
１ ・Ｅz ・Ｅ
− ＝−ｊωμ0Ｈ
ρ ・φ ・ｚ (1)
１ ・Ｈz ・Ｈ
− ＝ｊωε0Ｅ
ρ ・φ ・ｚ
φ成分
・Ｅ ・Ｅz
− ＝−ｊωμ0Ｈ
・ｚ ・ρ (2)
・Ｈ ・Ｈz
− ＝ｊωε0Ｅ
・ｚ ・ρ
ｚ成分
１ ・(ρＥ ） ・Ｅ
｛ − ｝＝−ｊωμ0Ｈz
ρ ・ρ ・φ (3)
１ ・(ρＨ ） ・Ｈ
｛ − ｝＝−ｊωε0Ｅz
ρ ・ρ ・φ
いま，
Ｅz＝０
(4)
Ｈz＝０
の二つのケースを仮定してみましょう．こう仮定しても特に一般性を傷つけるわけではありません．式(4)第1式をＴＥモード，第2式をＴＭモードと仮に名付けることにします．
ＴＥモード
・Ｅ
＝ｊωμ0Ｈ
・ｚ
１ ・Ｈz ・Ｈ
− ＝ｊωε0Ｅ
ρ ・φ ・ｚ
・Ｅ
＝−ｊωμ0Ｈ
・ｚ (5)
・Ｈ ・Ｈz
− ＝ｊωε0Ｅ
・ｚ ・ρ
１ ・(ρＥ ） ・Ｅ
｛ − ｝＝−ｊωμ0Ｈz
ρ ・ρ ・φ
１ ・(ρＨ ） ・Ｈ
｛ − ｝＝０
ρ ・ρ ・φ
ここで，
・
＝-jζ
(6)
・ｚ
と置くことにし，上式第1式を4式に，また第3式を2式に代入して，Ｅ ，Ｅ を求めると，
jωμ0 １
・Ｈz
Ｅ ＝
ζ2−ｋ02
ρ ・φ
-jωμ0
・Ｈz (7)
Ｅ ＝
ζ2−ｋ02
・ρ
これを式(5)第5式び代入して整理すれば，
・2Ｈz
１ ・Ｈz １ ・2Ｈz
＋ ＋ ＋（ｋ02−ζ2）Ｈz＝０ (8)
・ρ2 ρ
・ρ ρ2 ・φ2
となります．
ＴＭモード
同様にして，ＴＭモードについても見ておきましょう．式(5)でＨz＝０と置けば，
１ ・Ｅz ・Ｅ
− ＝−ｊωμ0Ｈ
ρ ・φ ・ｚ
・Ｈ
− ＝ｊωε0Ｅ
・ｚ
・Ｅ ・Ｅz
− ＝−ｊωμ0Ｈ
・ｚ ・ρ (9)
・Ｈ
＝ｊωε0Ｅ
・ｚ
１ ・(ρＥ ） ・Ｅ
｛ − ｝＝０
ρ ・ρ ・φ
１ ・(ρＨ ） ・Ｈ
｛ − ｝＝−ｊωε0Ｅz
ρ ・ρ ・φ
ゆえに，
-jωε0
１ ・Ｅz
Ｈ ＝
ζ2−ｋ02
ρ ・φ
jωε0 ・Ｅz (10)
Ｈ ＝
ζ2−ｋ02
・ρ
これらを式(9)最後の式に代入して，
・2Ｅz
１ ・Ｅz １ ・2Ｅz
＋ ＋ ＋（ｋ02−ζ2）Ｅz＝０ (11)
・ρ2 ρ
・ρ ρ2 ・φ2
となります．
ヘルムホルツ方程式の一般解
式(8)，(11)は形式的には全く同じ方程式です．そこで，これらの満足すべき一般解を求めておきましょう．
一般解として，Ｒ(ρ)Φ(φ)と置きますと，
・2Ｒ Φ ・Ｒ Ｒ ・2Φ
Φ ＋ ＋ ＋（ｋ02−ζ2）ＲΦ＝０ (12)
・ρ2 ρ
・ρ ρ2 ・φ2
となります．そこでこの式の両辺をＲΦ／ρで割りますと，
ρ2 ・2Ｒ ρ ・Ｒ １ ・2Φ
＋ ＋ ＋（ｋ02−ζ2）ρ2＝０
(13)
Ｒ ・ρ2 Ｒ
・ρ Φ ・φ2
となって，左辺第３項目だけは，φだけの関数であり，それ以外のすべての項はφには無関係なものばかりで，それゆえφにとっては定数です．それゆえ，この項を除くすべての項を一括して定数−ｍ2と置くことにします．すなわち，
・2Φ
＝−ｍ2Φ (14)
・φ2
式(14)を式(13)に代入して，両辺をρ2で割って，
・2Ｒ １ ・Ｒ ｍ
＋ ＋ （ｋ02−ζ2）− Ｒ＝０ (15)
・ρ2 ρ
・ρ ρ2
を得ます．
式(14)は，単純な二階微分方程式ですし，また，式(15)はよく知られたベッセルの微分方程式ですから，式(8)，(11)などのヘルムホルツの微分方程式の一般解は形式的に与えられます．すなわち，
Ｅz
＝{ＡＪm(ξρ)＋ＢＮm(ξρ)}(Ｃcosｍφ＋Ｄsinｍφ)ｅ-jζz (16)
Ｈz
となります．ところで，ここにｍは0,1,2,3‥‥とすることができますから，結局，
Ｅz
＝ {ＡmＪm(ξρ)＋ＢmＮm(ξρ)}(Ｃmcosｍφ＋Ｄmsinｍφ)
Ｈz m=0 ｅ-jζmz (17)
もまた解として選ぶことができます．係数Ａm，Ｂm，Ｃm，Ｄmなどは，与えられた境界条件によって決めることができます．
平面波の円筒波表示
一般的に円柱座標中で波動方程式は，式(17)のように表わされることが分りました．
それでは，平面波なども円柱座標変数を用いて表現できるはずです．もちろん，平面波のような平板的な波を円柱座標のような曲線座標で表わすのは巧いやり方とは言えません．しかし，境界が円柱壁である場合などではその壁に合せた円柱座標を持ちいいなければ境界条件の適用は不可能ですから，平面波を円柱座標で表わすことには相当な意味があるのです．
いま図のように，円筒波の波源が遥か彼方の（ρp，φp，ｚp）の場所にあるとしましょう．ρp》１ですから，これが有限のρに近づく頃にはこの波は平面波になっています．この波の波動関数をＥzとしますと，これが満足すべき方程式は，
・2Ｅz
１ ・Ｅz １ ・2Ｅz ・2Ｅz
＋ ＋ ＋ ＋ｋ02Ｅz
・ρ2 ρ
・ρ ρ2 ・φ2 ・ｚ2
δ(ρ-ρp)δ(φ-φp)δ(ｚ-ｚp)
＝− (18)
ρ
となります．
いま，δ(ｚ-ｚp)についてFourier変換を適用しますと，
δ(ｚ-ｚp)＝
ｅ−ｊζｚpｄζ
となることは既に紹介しています．
つぎに，δ(φ-φp)は変数が2πの周期関数ですから，Fourier展開によって表わすことができます．
∞
δ(φ-φp)＝ (Ｃmcosｍφ＋Ｄmsinｍφ)
m=0
そこでこれの両辺にcosｎφをかけてかつ両辺を0〜2πまで積分しますと，
2π
δ(φ-φp)cosｎφｄφ＝ (Ｃmcosｍφ＋Ｄmsinｍφ)cosｎφｄφ
0
π （m≠0）
＝Ｃm
２π （m＝0）
＝cosｍφp
また，これの両辺にsinｎφをかけてかつ両辺を0〜2πまで積分しますと，
2π
δ(φ-φp)sinｎφｄφ＝
(Ｃmcosｍφ＋Ｄmsinｍφ)sinｎφｄφ
0
＝Ｄmπ
＝sinｍφp
となります．ゆえに，
１
Ｃ0＝
２π
cosｍφp
Ｃm＝
π
sinｍφp
Ｄm＝
π
よって，
∞
１
δ(φ-φp)＝ (２mcosｍφpcosｍφ＋sinｍφpsinｍφ)
２π
m=0
ただし，
１ （m＝0）
２m＝
２ （m≠0）
そこで，Ｅzについて
∞
１
Ｅz＝ Ｒm(ρ)(２mcosｍφpcosｍφ＋sinｍφpsinｍφ)ｅ−ｊζｚpｄζ
２π
m=0
としましょう．これを